Sziasztok!

Idokozben igen erdekes allitasok lattak napvilagot. Sebestyen Balazs, es
Bela (eb) tagadjak a vegtelen letra letezeset. Eme ujszeru allitasok miatt
igazan erthetetlen Bela kerese, hogy fejezzuk be a vitat. Talan bizony Bela
ezzel a furcsa ervelesi modszerrel kivanja elerni, hogy ove legyen az
utolso szo. Emellett elohozakodik egy befejezett temaval, amelyben
allitasom meg lett cafolva. Ki tudja, milyen indittatasbol teszi, de
ervelese jo politikusra vall. :)  A matematika bizonyitasi modszereit
illetoen azonban, mint minden halandonak, van meg mit tanulnia.

Kedves Bela!

>Miert fedne be a letra vetulete a fal es a letra alapja kozotti
>intervallumot?! Hatarertekben a letra fuggoleges. Fuggoleges
>vonal vetulete a vizszintes vonalra egy pont, a fuggoleges
>egyenes talppontja.

Ez az allitas tetszoleges veges egyenesre igaz. A letrank azonban nem
veges. Peldaul annak sincs akadalya, hogy egy zart szabalyos korvonal
hatarerteket tekintsuk, ha az atmerojevel a vegtelenbe tartunk.

>A letra n-ik foka vetulete a letra hosszanak
>novelesevel a letra alapjahoz tart _minden_ n-re.

Ez csak azt bizonyitja, hogy a letra alapja _is_ torlodasi pont, semmi
mast. Ha a vetulet tovabbi pontjaira is kivancsi vagy, akkor azt is eszre
kell venned, hogy mikozben az n. fok az alappont fele vandorol, kozben az
osztaspontok felaprozzak a vetuleti szakaszt.

>Aki tanult matematikat, az ismeri a kulonbseget a
>konvergencia es az egyenletes konvergencia fogalma kozott.

Ez feltehetoleg igy van, azonban ez nem igazan hozott lazba.

>Aki meg nem tanult, az meg gondolja vegig, hol is tamaszkodik
>az a letra a falhoz? A vegtelenben. A vegtelen tavoli pont nem
>resze a vilagegyetemnek, tehat a problema meg csak nem is
>szemleletes, meg intuitive sem erdemes gondolkozni rajta.

Felettebb grandiozus, filozofikus melysegu allitas, sajnos azonban nem
tudtalak kovetni, meg intuitive sem. Alkalmadtan irhatnal melle egy rovid
bizonyitast. De egyebkent sem az a kerdes, hogy letezik-e ez a pont, hanem
az, hogy ertelmezni tudjuk-e a hatarertek fogalma altal. Marpedig a
vegtelen magas falnak tamasztott veges letrak sorozata egyreszt nem
korlatos, masreszt a hatarertek kepzesnek sincs semmi akadalya. Igy a veges
letrak akkor is tartanak ehhez a vegtelen tavoli ponthoz, es a hatarertekuk
lehet eppen egyenlo vele, ha ez a pont nem is letezik.

Kedves Balazs!

Abban feltetlenul igazad van, hogy a vegtelen tavoli ter vizsgalata nem
targya a hagyomanyos euklideszi geometrianak. Ebbol azonban egyreszt nem
szabad levonni azt a kovetkeztetest, hogy nem letezik vegtelen kiterjedesu
ter, masreszt az sem kovetkezik, hogy ez a kerdes nem vizsgalhato korrekt
modon. De azt mar korabban is emlitettem, hogy itt az euklideszi geometria
kiterjeszteserol van szo. Mi az ertelme ennek a kiterjesztesnek?
Felmerhetetlen kovetkezmenyei vannak, ugyanis nyilvanvalova teszi azokat az
allitasokat, amit Ponicare, es Szabo Laszlo allitott (a Voland ajanlotta
cikkekben), es amit en igy fogalmaznek meg: bar a ter amelyben letezunk,
minden szamukra elerheto veges tavolsagban hatarozott geometriai
tulajdonsagokat mutathat (peldaul euklideszi simasagu), ebbol meg nem
kovetkezik, hogy a vegtelen kiterjedesu, es altalunk belathatatlan ter is
ugyanilyen geometriai tulajdonsagokkal rendelkezik. A vegtelen letra eppen
egy olyan teret demonstral, amelyben a parhuzamosok _meghatarozott modon_
metszik egymast a vegtelenben.

>Ha pedig a falhoz tamasztott vegtelen letrat veges letrak hatarertekekent
>vesszuk, akkor egyszeruen az mondhato, hogy az arnyekoknak mint
>ponthalmaznak nincs hatarerteke, az sodorja az egesz szakaszt a letra es
>a fal kozott. Minden alkalommal megszamlalhato, sot veges sok pont
>alkotja az arnyekot, de ez az arnyek mozog, es nem tart semmilyen
>halmazhoz se. Egy nemletezo halmaz tulajdonsagairol vitatkozni pedig
>nem erdemes.

Ez a gondolatmenet hibas, mivel a vandorlas latszolagos. Egyreszt a
vandorlasnak nincs semmi jelentosege, hiszen az a lenyeg, hogy N
novekedesevel egyre egyre surubb osztas keletkezik. Masreszrol, mint
korabban emlitettem, a vetulet N reszre valo felosztasa helyett vehetjuk
csupan a 2^N, vagy 10^N reszre osztasokat, illetve ezen felosztasok
hatarerteket. Ekkor a vetulet egyaltalaban nem vandorol N novelesevel,
hanem a korabbi osztaspontok megmaradnak a helyukon, es a koztuk levo
szakaszok felezodnek, vagy tizedelodnek tovabb. Es ekkor minden egyes
osztaspont koordinatajanak megfeleltethetunk egy veges binaris, vagy egy
veges tizedes tortet. Annak allitasa pedig, hogy ezeknek a veges torteknek
nincs hatarerteke a vegtelenben, szerintem egyenerteku annak allitasaval,
hogy nem leteznek vegtelen tizedes tortek, illetve irracionalis szamok.
Gondolom, ilyet Te sem akartal allitani. Akar az 1/N, akar az 1/10^N
nullsorozatnak letezik a hatarerteke. A nullsorozatok minden tagjahoz
hozzarendelheto az intervallum egy felosztasa, tehat egeszeben a
nullsorozatokhoz egy-egy felosztassorozat. A nullsorozat veges tagjaihoz
veges felosztasok tartoznak. A nullsorozat veges tagjai nem nulllak, a
veges felosztasok racionalisak. Az egyiknek pontosan akkor letezik
hatarerteke, amikor a masiknak. A nullsorozatok hatarerteke a nulla, a
felosztasok hatarerteke a folytonos intervallum.

Lathato, hogy a gondolatmenetben nem sokat hivatkoztam a letrara, csupan a
vetuleti intervallum felosztasara. A letranak megis fontos szerepe van,
mivel egy fontos (bar nem egy-egy ertelmu) osszerendelest reprezental az
egesz szamok, es az irracionalis szamok kozott, amely segitsegevel a
szamossag kerdesei vizsgalhatok.

Kedves Zoli!

>Ezek NEM jelenthetnek folytonossagi hianyt,
>mert a felulet teglalapjainak elei egymast erintik.
>Mas.
>A 0-hoz infinit kozeli racionalis szamok mely termeszetes
>szamok hanyadosai lennenek ?
>Milyen a nevezo ? Tudom, nem lehet konkret szamokat mondani,
>de megis, mifele termeszetes szamok azok ?  Lehetnek vegesek ?
>Nem hiszem. Hatareset  veges es vegtelen kozott meg ugyebar
>nincs.  Az sem allithato, hogy nincsenek 0-hoz infinit kozeli
>racionalis szamok.

Felhivom a figyelmedet, hogy az infinitezimalis tavolsagok fogalmanak
hasznalata sok tekintetben elavult a matematikaban. Newton, es Liebniz
talalta ki, es idoben megelozi a hatarertek fogalmanak kialakulasat. A
hatarertek fogalmaval egyidejuleg a kulonfele konvergencia, es
folytonossagi kriteriumok is kialakultak. Az egyik legaltalanosabban
hasznalt Weierstrass-fele kriterium nullsorozatok hatarertekevel kozelit a
torlodasi ponthoz, a masik Cauchy-fele kriterium a torlodasi pont koruli
tetszolegesen kicsiny kornyezet fogalmat hasznalja a fuggveny
hatarertekenek ertelmezesehez. Mindket esetben  azonban a fuggveny akkor
folytonos, ha a hatarertek is letezik az adott pontban, az adott pontbeli
fuggvenyertek is letezik, es a ketto azonos. Ebbol levezetheto, hogy a
feluleti teglalapok nem folytonosak, ahol a letrafokok arnyekai
megszakitjak oket. A konvergencia kriteriumok pedig eppen azert szulettek,
hogy elkeruljuk az infinitezimalis kozelitesbol adodo fogalmi nehezsegeket.
Ehelyett beszelhetunk veges kozelitesrol, illetve annak hatarertekerol a
vegtelenben. A veges kozelitesek szemleletesek es kiszamolhatoak, a
hatarertekek pedig akkor is egyertelmuek, ha nem szamolhatunk veluk. A
veges es vegtelen kozotti hataratmenet bizonytalan, es definialatlan, es
eppen az ebbol kialakult, es altalam korabban emlitett hibas
kovetkezteteseket kell kijavitani a halmazelmeletben, illetve
szamelmeletben. A letras pelda eseteben problema nelkul beszelhetunk a
veges ferde letrakrol, es a hataretekkent adodo fuggoleges vegtelen
letrarol. A ketto kozotti kulonbsegrol is beszelhetunk, de a ketto kozotti
atmenetet nem tudjuk pontosan ertelmezni, tehat a merolegeshez kozelito
_vegtelen_ letra fogalma definialatlan. Mind az 1/N es mind az 1/-N
sorozatok hatarerteke nulla. Barmely veges N-re a tagok pozitivak, vagy
negativak, de a hatarertek csupan csak nulla, es ehhez megszamlalhatatlan
szamossagu vegtelen nagy sorszamu tag tartozik mindket sorozatbol (felteve,
hogy ertelmezzuk a vegtelen nagy szamokat).

Kedves ToZo!

>vezesd le a letra vetuletenek kerdeset ... a tenylegesen
>veges kiterjedesu fok-kozok vetuletet tekintve.
Bar errol volt szo a #1435-os szamban a (10) mondattal kezdodoen, lassuk
ujra. A felosztassal a fok-kozok vetulete megszunik folytonosnak lenni, es
egyre kisebb intervallumok keletkeznek. Az intervallumok nyilvanvaloan
legalabb ket kulonbozo pontot tartalmaznak. Ezeket azonban a felosztas
novelesevel szet lehet valasztani, mert mindig van olyan felosztas, amely
barmely ket kulonbozo pontot szetvalaszt. A felosztas hatarerteken egy
olyan allapotot kell ertenunk, amelyben mar nem lehet szukseg tovabbi
felosztasra. Ez csak akkor igaz, hogyha a hatarertekben nincs olyan
intervallum, amelynek ket kulonbozo pontja van. Mivel az elrendezesunk
szerint az osztaspontok racionalis szamok, ezert az irracionalisok csak a
fok-kozokben lehetnek. Azonban a hatarertekben a ketto meg fog egyezni. Ha
ugyanis a racionalisok es az irracionalisok kulonboznenek a hatarertekben,
akkor megint csak nem tekinthetnenk a felosztast befejezettnek, hiszen
barmely ket kulonbozo racionalis, es/vagy irracionalis szam kozott vegtelen
sok racionalis, es vegtelen sok irracionalis szam van.

>Avagy: igaz-e, hogy szerinted Zoli vegtelen magassagu
>letrajanak arnyeka a foldon telejesen sotet, es ha igen,
>akkor Zoli negativ letraja (folytonos zart felulet idealizaltan
>keskeny, azaz 0 szelessegu resekkel) ugye teljesen
>vilagos arnyekot ad?
Szo sincs rola. Mindket letra arnyeka fekete. Ha a nullmerteku letrafokok
arnyeka feketeve valik a vegtelenben vett hatarerteknel, akkor a szelesebb
fokoknal az arnyek meg sokkal feketebb, de legalabbis ugyanolyan fekete.
Sot az inverz-letranal a veges kozelitesek is fekete arnyekot adnak, bar ez
az arnyek ilyenkor meg nem folytonos. A hatarertekben egyebkent nincs
szerepe a letrafokok szelessegenek, mivel a hatarertekben a szeles
letrafokok is nullmertekuve valnak.

Udv: Takacs Feri

Kedves Jozsi!

>Nem latom, mi a gond.

Sokkal inkabb gyakorlati jellegu, mintsem elmeleti. Nem figyeltem elegge,
illetve fontosnak tartottam annak kihangsulyozasat, amit a kovetkezo
leveledben Te is megtettel. >>Tanulsag az, hogy a gyorsulas abszolut erteke
onmagaban nem eleg, nem ad valaszt.<< Igy mostanra mar semmi gond. :-)

Udv: Takacs Feri

Math-nak:

A kerdeses konyv Neumann Janos: A kvantummechanika matematikai alapjai
Megjelent magyarul is, az Akademiai Kiadonal
A konyvben Neumann hatarozottan azt az elkepzelest fejti ki, amit itt
tobben is ideztek: a kvantumreszecskeknek _NINCS_ helyuk, impulzusuk
es egyeb fizikai mennyisegek, ezeknek a fogalmaknak a meres elott
nincs ertelmuk. A hatarozatlansagi relacio _NEM_ a meresi modszereink
korlatozottsagat fejezi ki, hanem a valosag egy aspektusat, a keresett
mennyisegek nem letezesenek objektiv voltat.

Termeszetesen ez nem bizonyitek, de azert remelem, elgondolkodtato, es
nem lehet egy kezmosdulattal lesoporni az asztalrol, ha egyszer Neumann
janos is ezt mondja... Sot az egesz konyv matematikajaval ezt tamasztja
ala.

udv
dgy

Voland irta Szakacs Tamasnak:

>Ebbol szerintem egyertelmuen kitunik, hogy nem erted...
>Nem erdekes a gyorsulas!!!

Bocs, hogy belekontarkodom a fizikusok vitajaba, de en sem ertem :-(

Fentebb ezt irod:

>ad1., a paradoxon feloldasa epp az amit szinten tomoren
>irtam, vagyos a vilagvonalak kulonbozosege.
>ad2., az elteres oka egyaltalan nem a gyorsulas!, az
>pusztan azert kell, hogy a ket iker ujra
>talalkozhasson!/maskeppen fogalmazva, a gyorsulasnak NINCS
>szerepe az idoelteres fellepesenel!!Felirhato gyorsulas
>nelkuli paradoxon is, termeszetesen!/

Szoval, ha nincs gyorsulas, az ikrek nem talalkoznak ujra. De akkor
nincs is paradoxon...
Lehet, hogy a gyorsulasnak nincs szerepe az idoelteres fellepesenel,
kozvetlenul! De kozvetve okozhatja az idoelterest azaltal, hogy
inerciarendszer-valtas tortenik.
Ezert nem ertem, hogy miert siklasz el Tamas filozofalgatasa mellett:

<<Azt hiszem, itt rejlik a felreertes egyik pontja. Ki mit
tekint oknak, es mit kovetkezmenynek? Van-e jelentosege,
ill. van-e modszer eldonteni, melyik megfogalmazas a
helyes? A gyorsulas okozta (kozvetve vagy kozvetlenul) a
vilagvonal visszakanyarodasat, vagy a vilagvonal
visszakanyarodasa okozta (kozvetve vagy kozvetlenul) a
gyorsulast?>>

Ha vazolnal egy gyorsulas nelkuli paradoxont, akkor talan kozelebb
kerulnek a megerteshez.

Udv,
Andras

Sziasztok !

 :
>Miert fedne be a letra vetulete a fal es a letra alapja kozotti
>intervallumot?! Hatarertekben a letra fuggoleges.

Magad irod: hatarertekben.
A hatarertekhez konvergalas nem azt jelenti, hogy a hatarertek
elerheto, hanem azt, hogy tetszolegesen megkozelitheto.
A ketto nem ugyanaz.

>Fuggoleges vonal vetulete a vizszintes vonalra egy pont, a fuggoleges
>egyenes talppontja.
Ez rendben lenne, ha a letra echte fuggoleges lehetne.

>A vegtelen tavoli pont nem resze a vilagegyetemnek, tehat a
>problema meg csak nem is szemleletes, meg intuitive sem erdemes
>gondolkozni rajta.

Ezek utan megfontolando, hogy a vegtelen fogalmat szamuzni kene esetleg
a matematikabol, mert ellentmondashoz vezet, ahogy itt
lentebb ezt demonstralni is tudom.

A veges letrat - mint korabban irtam - letesszuk 1m-re a fuggoleges
faltol, es toldozgatjuk, hogy hossza novekedjen.
(A letra fali vege ezuttal fusson sinben a falon fuggolegesen. )

Ha azt allitanank, hogy a letra lehet vegtelen is, es a fallal echte
parhuzamossa valhat,  mikozben azt is elfogadjuk, hogy valahol
osszeernek, abbol az jon ki, hogy parhuzamosok a vegtelenben
talalkozhatnak.
Ez szemben all Euklidesz velemenyevel, miszerint:
*Parhuzamosok azok az egyenesek, amelyek ugyanabban a sikban
 vannak es mindketoldalt vegtelenul meghosszabitva egyiken sem
 talalkoznak.*

Sebestyen Balazs:
>Konyorgom, falhoz tamasztott vegtelen letra nincs, ezert semmi ertelme
>arrol vitatkozni, milyen a fokok vetulete.

Ezek szerint kizarja egymast a tamaszkodas, es a hossz minden
hataron tuli novelese. Nehez ezt elfogadni.

>Az euklideszi geometriaban ket egyenes vagy parhuzamos, es akkor
>a vetuletek egy pontba esnek, vagy nem parhuzamosak, es akkor
>barhonnan nezve a ket egyenes veges idon belul metszi egymast.

Ha idoben es terben (klasszikusan) vizsgaljuk - mikozben a letra
hossza es szoge novekszik, szogsebessege 0-hoz konvergal.
Az idealizalt fuggoleges - mint hatarertek igy csak kozelitheto,
de nem erheto el.
Ha pedig egy ugrassal a vegtelent vesszuk, a letranak el kell szakadnia
a faltol - akar van si'n - ami fogja ott, akar nincs ?

>Minden alkalommal megszamlalhato, sot veges sok pont alkotja az
>arnyekot, de ez az arnyek mozog, es nem tart semmilyen halmazhoz se.
>Egy nemletezo halmaz tulajdonsagairol vitatkozni pedig nem erdemes.

Kar, mert keserves koncentracio utan ugy tunt megtalaltam idokozben,
hogy milyen modon volna kiegeszitheto kontinuumma a megszamlalhato
vegtelen pontok vetulete tovabbi letrarendszerrel.
Hagyom a csudaba az egeszet.

Udv: zoli

Math:
*lehet az, hogy a reszecskeknek igenis van allapota, de a meres i
*mpulzust ad at ennek a reszecskenek, es a meres ezaltal megvaltoztatja a
*reszecske allapotat.

Igy van, azonban ez csak a meres gyakorlati kivitelezhetosegere ad egy
gyakorlati korlatot, amit ki lehet szamitani a kulonbozo
meroberendezesekre, a heisenberg relacio felhasznalasa nelkul.
 Es ez a gyakorlati korlat mindig a 'tiszta' Heisinberg hatar felett van.
(es ez nem a Heisenberg relacio levezetese.)

Mas. A ket ertelmezes empirikusan ekvivalens. Azonban ha igaznak
tekintjuk, hogy az objektumoknak van egyidejuleg pontos impulzusuk es
helyzetuk is, ezzel ellentmondunk a kvantummehanika matematikai
apparatusanak, ami szerint  a hely s az impulzus operatoroknak nincs
kozos sajatallapotuk, vagyis e mennyisegek nem vehetnek fel
egyidejuleg hatarozott ertekeket.

Kiserlettel ezt, mint tudjuk, nem lehet eldonteni. Azonban ha ez utobbi
ertelmezes lenne igaz, akkor nem lenne igaz a kvantummehanika matematikai
alapja, annak ellenere, hogy a kiserletekkel minden reszletben egyezo
eredmenyt szolgaltat.
 Ezert allithatjuk, hogy igencsak valoszinutlen, hogy az elmelettel lenne
a baj.

Laci

En, eloszor is megkoszonom azoknak a hozzaszolasaikat, akik azon
faradoztak, hogy elmagyarazzak, es megertessek a tobbiekkel a
gondolatmentuket.
A letra csak egy pelda volt, esetleg tobb zavart keltett, mint
amennyit eloszlatott. A geometria oran, amikor a parhuzamosokat
definialtuk, akkor sem voltunk eleg precizek, olyasmiket mondtunk,
hogy "a parhuzamosok csak a vegtelenben metszik egymast". Ezzel
akkor es ott megelegendtunk. Mi is a szabatos definicioja a
parhuzamosoknak ?
Szivesen vennem, hogy ha valaki megadna a letra problema formalis
modeljet (hogy legalabb ugyan arrol beszeljen mindenki).
En azt mondanam, hogy:
- adva van egy derekszogu haromszogekbol allo sorozat
- a haromszogek egyik befogoja egysegnyi, az atfogoja 2, 3, 4...
- az atfogon meg vannak jelolve az egysegnyi szakaszok hatar-
  pontjai, es azokat az egysegnyi hosszusagu befogora vetitjuk
  (arra merolegesen)
- a vetulet-pontok racionalis szamoknak felelnek meg
- barmely kis alfa > 0 szoghoz megadhato egy oyan N szam, hogy
  az atfogo alfanal kisebb szoget zarjon be az n > N atfogo-
  hosszusagu haromszogekben a hosszabbik befogoval
- alfa mindig a (0, valahany fok] balrol nyilt tartomanyba esik
A letra vegul annyira fuggoleges, mint az 1/x nulla, ha messzire
megyunk. :-)
Lehetne altalanositani: az atfogo nem korlatosan, racionalis szam
szorosara novekszik, tovabbi ostaspontokat lehet kepezni az
atfogon racionalis tavolsag-aranyosan.
Megvilagitanatok, hogy mit keres itt az egyenletes konvergencia?
(En a fuggveny-sorozatok konvergenciajanal talalkoztam veluk.)
Meg olyanokat is mondhatunk, hogy barmely kis epsilon > 0 szam-
hoz, es az egysegnyi befogon levo barmely "p" akar racionalis,
akar irracionalis szamot jenento ponthoz megadhato olyan M szam,
hogy talalhato legyen olyan "q", az egysegnyi befogora vetitett
osztaspont, hogy epsilon > | p - q |, ha m > M atfogo-hosszusagu
haromszogeket veszunk (vagyis mindenutt van torlodasi pont).
Na de ettol me'g miert lesz "nem lyukas" a lefedettseg ?

Menyhárt Zoltán