Egy újabb kísérlet arra, hogy a kedves olvasó megértse, hogy A Cantor-féle 
axiómatikus halmazelmélet tarthatatlan.

Ismét egy szemléletes példán fogom ezt bemutatni, kiemelve néhány ebben a 
példában kézenfekv? aspektust.

A példa alapja egy henger. A szemlélet kedvéért a henger legyen 1 egység 
hosszú, és 1 egység sugarú kör alapú. A henger a szemléltetés szintjén üveg, 
aminek itt az átlátszóság miatt van szerepe. Az alappal párhuzamosan 
vastagság nélküli körlapok vannak a következ? rend szerint:

Az alapon magán van egy ilyen körlap, melyre mindkét oldalról 0 van felírva. 
Azután a henger magassága felénél van a következ? körlap 1 felírattal 
mindkét oldalán. Majd 3/4-nél a következ? 2 felírattal, stb.
Azaz ha egy felirat i volt akkor a következ? felirat i+1 lesz mégpedig 
1/2^(i+1) távolság egységgel távolabb. A körlapok maguk már nem átlátszóak.

Itt az olvasó két eset közül választhat. Tagadja a henger létét. Ezzel 
együtt minden olyan axiómarendszert is, melyben szerepel a "Van olyan 
halmaz, mely nem véges." axióma.  Ok: A henger nem véges számú számozott 
körlapot tartalmaz, így a létének elfogadása, csak az adott axióma 
érvényesnek elismerésekor következetes. S a Cantor-féle axiómatikus halmaz 
elmélet is ezen axióma elfogadását megköveteli. Így ezen esetben nincs mir?l 
beszélni mivel itt azoknak szólok, akik a Cantor féle axiómatikus 
halmazelmélet nem véges halmazokra adott elméletét elfogadják, vagy legalább 
kiváncsiak mi s?l ki ebb?l.

A másik lehet?ség a henger létének s vele együtt a nem véges halmazok 
létének elfogadása. Ezt azonban csak ellentmondásmentesen érdemes megtenni. 
Err?l szól ezen írás hátralev? része. Mégpedig azzal a módszerrel, hogy 
megvizsgáljuk a hengert.

Kezdjük azzal, hogy a hengeren minden egyes természetes számhoz tartozik egy 
körszelet. Mégpedig minél nagyobb a szám, annál messzebb van a körlapja alap 
körlaptól és annál közelebb van a henger tetejéhez. Pontosan meg is 
mondható, hogy az i∈N természetes szám helye 1-1/2^i távolságra van a 
henger kezd? végét?l.

Folytassuk ott, hogy a henger tetején nincs számozott körlap, hiszen
1-1/2^i=1 egyenletet teljesít? i∈N kellene hozzá. Szabályos 
átalakítással az 1/2^i=0 egyenlethez jutunk. Ennek nincs természetes szám 
megoldása.

Most gondolatban vegyük a kézbe a henger és nézzük az alapja fel?l. Ekkor  a 
0 feliratú körlapot fogjuk látni. Ezután fordítsuk el 180 fokkal a magasság 
tengelyét, ekkor éppen a tetején fogunk belátni. S itt jön az a kérdés, ami 
minden egyéb dolgot eldönt a végtelennel kapcsolatban. S ez a kérdés így 
szól: Mit látunk ekkor?

Az egyik lehetséges válasz, hogy nem látunk.- Ez a válasz azonban csak akkor 
adható, ha a henger létét tagadjuk, azaz nem fogadjuk el a "Létezik, olyan 
halmaz, amely nem véges." axiómát.

A másik lehetséges válasz, hogy látunk, s ekkor nem láthatunk mást, mint a 
legnagyobb természetes számot reprezentáló körlapot és feliratot.

Tanulság: Nem lehet a dolgokat keverni, vagy tagadjuk a nem véges halmazok 
létét, és akkor tagadhatjuk a legnagyobb természetes számot is, vagy 
elfogadjuk a nem véges halmazok létét, de akkor vele együtt a legnagyobb 
természetes számét is elfogadjuk. A Cantor-féle axiómatikus halmazelméletet 
mindkét esettel el kell vessük.

Természetesen a legnagyobb természetes számot csak szimbólikusan tudjuk 
ábrázolni. Mivel N a természetes számok jele, így a görög H-ra esett a 
választásom.

Cantor elmélete ott is elbukik, hogy szerinte  hengerre igazak a következ? 
állítások, ahol i∈N:

"Nincs olyan körlap, ami után 0 körlap van a tet?ig."
"Nincs olyan körlap, ami után 1 körlap van a tet?ig."
"Nincs olyan körlap, ami után 2 körlap van a tet?ig."
stb.
"Nincs olyan körlap, ami után i körlap van a tet?ig."
stb.

Ám világos, hogy ezen állítások éppen annyian vannak, ahány körlap van a 
hengerben, ahogy ez a következ? állítások esetében is így van, ahol 
i∈N:

"E körlap után még 0 körlap van a tet?ig."
"E körlap után még 1 körlap van a tet?ig."
"E körlap után még 2 körlap van a tet?ig."
stb.
"E körlap után még i körlap van a tet?ig."
stb.

S mindkét esetben ezek tulajdonképpen tekinthet?ek maguknak a számoknak. S 
ekkor látszik, hogy a cantori elméletb?l fakadó felirat magyar nyelven éppen 
tagadja annak a természetes számnak a létezését, amit matematikailag 
definiál.

Persze ezek a feliratok túl hosszúak így egyszer?bbek után nézhetünk, így a 
körlapok felirata alulról indulva:
0
1
2
stb.
i
stb.
H-i
stb.
H-2
H-1
H

Felülr?l indulva:
H
H-1
H-2
stb.
H-i
stb.
i
stb.
2
1
0

Ezzel láttuk, hogy annak feltevése, hogy nincs utolsó elem egy lavinát indít 
el, ami éppen annyi elem tagadására vezetett, amennyit összesen kell, hogy 
legyen, így a következ? lépésben éppen arra használtuk a tagadó mondatokat, 
amit tagadtak, s ezzel frappánsan sarokba is szorítottuk, lévén minden egyes 
magyar tagadó mondat logikai értéke hamissá vált az által, hogy mindegyik 
éppen azt a természetes számot reprezentálta, amit tagadni igyekezett.

Most bonuszként dobjuk el a körlapjainkat, de tegyük fel egyúttal, hogy 
[0,1] tartományban szerepl? minden egyes racionális számhoz van egy 
körlapunk, s ez mind a helyén is van a hengerben. Ehhez persze fel kell 
tennünk, hogy Q halmaz létezik.

Most vizsgáljuk meg ezt a hengert!

El?ször is megállapíthatjuk, hogy ha a 0 körlapot kivesszük attól még fogjuk 
látni alulról a hengert. S az el?z?ekb?l könnyen rájöhetünk, hogy nem 
láthatunk mást mint a legkisebb pozitív racionális számot. Szintén a 
korábbiakból tudhatjuk, hogy ez is csak szimbólikusan írható fel. S szintén 
korábbról arra is rájöhetünk, hogy ez a szimbólikus felirat az 1/H. A 
legkisebb pozitív racionális szám tagadása eben az összefüggésben éppen úgy 
kudarcra itélt, mint korábban a legnagyobb természetes számé volt a megfel? 
szituációban. Itt is egy tagadási láncot indítana el, melynek tagjai azután 
éppen arra lennének definiálhatóak, amit tagadnak.

Másodszor hasonló megállapítást tehetünk ha a másik végen lev? 1 feliratú 
körlapot távolítjuk el. Emögött a legnagyobb 1-nél kisebb racionális számot 
fogjuk találni, ami szimbolikusan az 1-1/H vagy (H-1)/H.

Harmadszor megállapíthatjuk, hogy két egymásutáni körlap közé már semmi sem 
fér el. Vagyis a racinális számok teljesen kitöltik a rendelkezésre álló 
helyett, így bármilyen meglep? irracionális számok számára már nem marad 
hely.

Negyedszer méginkább meglep? ez annak fényében, hogy a racionális számok 
rákövetkezésének megfejtése után már megadhatóak mini intevallumok, minden 
i∈[0,1] racionális számhoz tartozik egy ilyen mégpedig az [i, i+1/H) 
intervallum. Ezen intervallumok mindegyikének a cantor-féle elmélet végtelen 
számosság aritmetikai része alapján kontinuum számosságú páronként diszjunkt 
irracionális számot kellene tartalmaznia. Ha egyben teljesül, akkor 
eltolással (Fix érték hozzáadása minden eltolt intervallum beli elemhez) az 
összes többiben is teljesülnie kell, mert az eltolás árán két különböz? 
számnak két különböz? új értéke lesz.
Ha meg van egy olyan intervallum melyben nincs kontinuum számosságú elem, 
akkor egyikben sem lehet, de ekkor összesen sem lehet kontuinuum számosságú 
elem, ami megdönti Cantor végtelen számosságokról adott elméletét, lévén 
szerinte kontinuum számosságú [0,1] közti irracionális szám van, de akkor 
ezeket megszámolhatóan végtelen egyenl? részre osztva egyenként is kontinuum 
számosságú halmazt kellene kapnunk. A helyzet azonban, mint láttuk, az, hogy 
nem, hogy kontinuum, de semmilyen számosságú irracionális szám sincs az 
egyes intervallumokban, így azok számossága összesen is kereken zérus.

Ötödször ezzel tuljadonképpen újra megmutattuk, hogy a kontinuum hipotézis 
mer? humbug.

Hatodszor érdemes elgondolkodni a Turing-gépek elméletében adódó 
következményekre, különös trekintettel a megállási problémára, a nem 
rekurzívan felsorolható nyelvek létére, stb. vonatkozóan.

stb.

Pet? Hunor http://infinity.tag,hu

Általában véve minden dialógus természetes. Természetesek a társadalmi 
konfliktusok. Természetes a megnemértés, a kórusban elkövetett monologizálás 
is. F?leg amikor anómia uralkodik egy olyan társadalomban, mint a mienk is. 
Ami nem természetes, az a tudományról és a filozófiáról kommunikáló emberek 
anómiás magatartása. Sokszor irigykedve gondolok a klasszikus gögög korra, 
amikor a tudományt és a filozófiát tisztelték az emberek, a tudósok és a 
filozófusok is. Amibe persze az is beletartozott, hogy egymást is 
tisztelték. Könnyekig meg tudok hatódni a platoni dialógusokon, amelyekben 
készségesen engedik magukat vezettetni a különböz? balekok a bábáskodó 
Piszokratész által. Ha ebb?l megmaradt volna valami! Ha nem tanítottak volna 
már meg a szofisták is arra, hogy mindenbe bele lehet kötni, minden nézetet 
ki lehet fogatni, és végül, ha semmi más nem használ, akkor süketen tovább 
lehet beszélni a másik ember gondolatai mellett.

A filozófia rovatban már ajánlottam: egyezzünk meg egy problémában (mindegy, 
hogy miben, vagyis nem konszenzusra törekszem), és próbáljuk megoldani 
végre. Tart, ameddig tart. De ne csapongjunk ezer felé, hanem kezdjünk el 
építeni egy tételrendszert. A tételek elfogadásának a módszere az, hogy ha a 
tételeket sem a tapasztalat, sem pedig valamilyen ellentmondás nem cáfolja, 
akkor a tételt mindenkinek el kell fogadnia, és mindaddig evidensnek kell 
tartani, amíg sem új tapasztalati, sem új logikai ellenvetés nem lép fel. A 
munkamenet az volna, hogy felvet valaki egy problémát. Bárki véleményezheti, 
hogy probléma-e vagy sem. Ha sikerül belátni, hogy probléma, akkor bárki 
javasolhat valamilyen megoldást a problémára. Ezt megint addig csócsáljuk, 
ameddig meg nem találjuk a megoldást, ami egy tétel lesz. A csócsálás 
alapszabálya az, hogy ha a problémamegoldás során a többiek indoklása 
alapján valaki tisztességtelenül bizonyít vagy cáfol, akkor a véleményét nem 
fogadjuk el. A második alapszabály az, hogy csak axiómatikus érvelést 
fogadunk el, ami állhat alapfogalmakból, axiómákból és tételekb?l. (Ha 
valaki közvetlenül a tapasztalatra hivatkozik, akkor a tapasztalatilag 
igazolt tételt axiómának kell tekinteni.) Talán ismeritek Lakatos Imre: 
Bizonyítások és cáfolatok cím? munkáját. Azt kellene nekünk is 
megvalósítani, ami ott a poliéderek körüli dialógusokban lezajlik.

Az én javaslatom az els? problémára: Mi az oka annak, hogy azonos kultúrához 
tartozó, azonos nyelvet beszél?, azonos iskolázottságú - tehát azonos 
racionalitású -  emberek a legkülönböz?bb, egymásnak szögesen ellentmondó 
világnézetet vallanak, s?t egy emberen belül is megférnek mondjuk a 
legmodernebb fizikai ismeretek és a katholikus vallás tételei?

Bármilyen problémára vev? vagyok egyébként.

Agyhalott

Kedves Benko'' László !

>A "tudománynak" pontosan az a legnagyobb "gondja", különösen 
>napjainkban, hogy aszerint "értékeli", mi az igazság, hogy azt ki 
>állítja! 
Ez meglep. Számomra a tudomány éppen attól tekintély, mert a 
társadalmi összképet tekintve a legkevésbé részrehajló 
a "hozzáállása".  Netán tudományos folyóiratok f?szerkeszt?ivel 
azonosítod, vagy az zavar, hogy tudományt érint? zsebbe vágó 
kérdésekben akadémikusok véleményét kérik ki,  amator felfedezok 
helyett ?  Az ilyesmi egyszeruen abból adódik, hogy aki abban dönt, 
hogy kit kell (kényszeruségbol) bevonnia a "hogyan tovább" stratégia 
kidolgozásába, az igyekszik támadhatatlan maradni. Bolond lenne, ha 
másképp tenne. Ha toleráns vagy, megérted ot. Ha intoleráns vagy,
próbálj a helyére kerülni. Ha nem akarsz, ismerd el, hogy vesztesként 
jobbat nem kaphatsz ajándékba annál, aki helyetted  van.

>mindegy, hogy a szomszéd óvodába járó négyéves Pistike, vagy 
>Einstein állít valamit, ha az állítás igaz, akkor az "tudományos tény", 
>ha nem, akkor tévedés! 
Ez a legtöbb esetben így is mukodik, de ha ezzel ellenkezo híreid 
vannak, ne titkold oket. Konkrétumok kellenek, nem jóleso beszólások.

>Ameddig a tudományt nem így "muveljük", addig az nem tudomány, 
>hanem csak egy filozófiai eszmefuttatás,  aminek vajmi köze sincs a 
>természethez. (Avagy, a tudománynak nem a természetet kellene a 
>maga valóságában leírnia?) Sajnos, ezt éppen a tudomány "felkent 
>képvisel?i" (HI) értik meg a legkevésbé.
Légyszíves nevezd nevén a gyermeket !  Ki nem érti a dolgát?
Ki ellen van kifogásod és miért?  Tartok tole, hogy eloítéletes vagy. 
Cáfolj rá, ha kedved engedi. A homályos célzásokat felejtsd el, azok 
nem kellenek a kutyának se. Ha a tudománytól igazságokat vársz el,
akkor te se légy szukmarkúan titokzatoskodó ebben, mert az 
visszatetszo.

Burgonya

Kedves B. László

Tudd, hogy tipikus hittételeket írtál, s ráadásul egy szuk réteg
által vallottakat. Ha ellenvéleményed van jelezd, de ne újabb  
hittételekkel.  Aki a tudománytól igazságokat vár el, az ne homályos 
utalásokat, célzásokat írjon, mert az visszatetszo.
Írd meg helyettük inkább azon ötleteidet, melyeket ajándéknak 
szánsz.  Ha azt kapod válaszul, hogy ilyen már volt és nem vált be,
akkor kérj hivatkozást. Ha nincs reagálás, az utalhat akár dölyföségre 
is, bár az is lehet, hogy a sakkmesterek az ajánlott lépést régen 
elvetették, mert átlátták, hogy matthoz vezet, de hogy miért, azt már 
kedvük sincs elmagyarázni az amator sakkozóknak.

Burgonya