Thus spake HIX TUDOMANY:

> "A matematikus - mikent a festo - mintakat alkot. Ha ezek idotalloak, annak
> oka, hogy gondolatokbol allnak.
> A matematikusok mintainak, mikent a festo es a kolto munkainak, szepeknek
> kell lenniuk. A gondolatoknak, mikent a szineknek vagy a szavaknak,
> harmonikusan kell egymashoz illeszkedniuk. A szepseg az elso kriterium: a
> csunya matematikanak nincs tartos helye a vilagon."

Akarmivel is foglalkozik az ember, mindent atszonek az erzelmek,
mert emberek vagyunk. A matematikus nagyon szepnek talalja a
problemait, teteleit, de nekem pl egy baromi unalmas szaraz
tudomanynak tunik. Mert az is. A matematikus szamara viszont azt
jelenti, amit masok szamara a kolteszet. Ebbol viszont semmikeppen
sem szabad levonni azt a kovetkeztetest hogy a ketto ugyanaz lenne
vagy akar csak a legkisebb mertekben is hasonlitana egymasra!
A metametikus egyszeruen azt talalja szepnek, amikor az axiomakkal
pepecsel, amit te amint latjuk nem szeretsz :)

> kifejezesere szolgalnak. A matematika temaja ennel sokkal szukebb, csak a
> vilagban fellelheto formak termeszetet vizsgalja. Mint minden muveszetnek,

Nem kevered a fizikaval? A mametatika nem modellez, nem a vilagot
vizsgalja mint a termeszettudomanyok altalaban hanem elvont
strukturakkal foglalkozik.

> Ezeknek a fenyeben tisztan latszik, hogy az axiomatikus formalizmus csupan
> az egyik legujabb, de nem az egyetlen eszkoze a matematikai igazsagok
> megfogalmazasanak. Az axiomak puszta kiszolgaloi, nem pedig meghatarozoi a
> matematikanak. Illetve meghatarozoi lehetnek akkor, ha tokeletlenek, ha

Sajnos ez nem igaz. Regen meg mas vilag volt, nem volt ennyire elvont
tudomany a matematika, masreszt nem kispalyas egyenisegek dolgoztak
rajta. A Cantor vagy Galois-szintu felistenekhez kepest mi foldi halandok
apro fergek vagyunk, soha sem leszunk kepesek ugy attekinteni egy kicsit
is bonyolultabb bizonyitast mint ok. Egyetlen megoldas ha mindent szepen
leirunk egymas utan es lepesenkent ellenorzunk mindent. Kiindulva az
axiomakbol! Nekik kolteszet volt a matematika nekunk pepecs munka.

> matematika minden teruleten belebotlunk. Azonban ez a probalkozas ezeddig
> sulyos, es megsemmisito kudarca fulladt, mivel nem sikerult egy egyertelmu
> axiomarendszert megfogalmazni, hanem csak ket alternativ felig mukodo
> rendszert, amelybol mindig azt rangatjuk elo, amely eppen megfelel egy
> adott bizonyitas alapjaul. Igy az egyertelmuseg helyebe a kaosz lepett, es

Ez persze nem igaz. Az analizis bevezetesekor mindig elohozzak a
halmazelmeletet, de nem fektetnek ra eleg hangsulyt mert nagyreszt
trivialis dolgokrol van szo, melyeket ugy is mindenki tud, szamonkerni
sem erdemes. Tulajdonkeppen egy oka van amiert erdemes tanitani, pont
az hogy a diakokban tudatosuljon, hogy minden amit kesobb tanulnak ide
vezetheto vissza! Persze meg az atlagembernek is van annyi matematikai
intelligenciaja hogy ne kelljen mindig ilyen melyre leasni, de neha
szukseg van ra. Pl a te esetedben, te pont az axiomak nem kielegito
ismereten csuszol el rendszeresen!

> emiatt nem lehet a halmazelmeletre alapozni a matematikat. Azon velemenyed,
> miszerint az elmeleti matematikaban csak a konzisztencia es
> redundanciamentesseg lehet az axiomakkal szembeni kovetelmeny, csupan

Pedig csak ez a lenyeges! Ha megvaltoztatod az axiomakat, ugy hogy
ez a ket feltetel tovabbra is fennaljon, kapsz egy masik vilagot,
melyben esetleg bizonyos tetelek nem ervenyesek mig masok igen.
Egyes ilyen rendszerek jol hasznalhatoak (pl a fizikaban), mig masok
csak elvontabb matematikai jelentoseggel birnak, a 'termeszetben' soha
sem fox veluk talalkozni.
Ha az axiomaid nem felelnek meg ezeknek a kovetelmenyeknek, akkor te
egy lokoto orult vampir vagy, talan meg farkasember is!
(Bocs tul sok Smullyan-t olvastam tegnap :)

> elkendozi a rideg valosagot, es erzekletesen mutatja, hogyan valsz
> aldozatta egy reszigazsag csapdajaban. Ez a csapdahelyzet egyenes

Nem. Ha mindent a szabalyoknak megfeleloen csinalsz, soha sem fox
tevedni, hamis kovetkeztetesekre jutni, bar esetleg talalkozol olyan
kerdessel melyet nem tudsz megvalaszolni, mert lehet hogy nincs ra
valasz.
Ha nem rogzited az axiomarendszered, nem definialod pontosan az
objektumaidat, akkor kerulsz olyan csapdaba, mint most!
(Egy tulajdonsagot nem hatarozol meg pontosan, es a kesobbiekben egy
kijelentesed ettol fuggen igaz vagy hamis. A bizonyitasaidben tobbszor
is elofordult ilyen, meg is mutattam. Sajna az utobbi hetekben ido
hianyaban mar nem tudtalak kovetni)

> kovetkezmenye az intuiciokat lebecsulo linearis lokalis bizonyitasi
> lancokra epulo celja vesztett gondolkodasnak, amely mar onigazolasra sem
> kepes. Eszre kell venni, hogy amit leirtam, es amit akar a matematikarol

Onigazolast hiaba varsz el az axiomakbol kiindulva... Ellentmondas es
redundancia-mentes axioma-rendszerben ez lehetetlen. Godel!

> mint barmely matematikai kifejezes, de ezeket a gondolatokat nem lehet
> formalizalni.

Olyan nincs. Amit nem lehet formalizalni az nincs.

> Udv: Takacs Feri

-- 
Valenta Ferenc >   Visit me at http://ludens.elte.hu/~vf/
" ... USE KOTEL ON KAMPO WITH NYAK"

Kadves Matyas, es z2!

Ujbol egy idezettel kezdem, Lakatos Imre: Bizonyitasok, es cafolatok cimu
konyvenek eloszavabol:
>> A formalizmus nem hajlando matematikanak tartani annak nagy reszet, amit
altalaban oda sorolnak, s a matematika fejlodeserol egy szot sem tud
szolni. A matematikai elmeletek "alkoto" korszakai kozul egyiket sem, a
"kritikai" korszakok kozul alig nehanyat bocsatananak be a formalista
mennyorszagba, ahol mint szerafok, minden foldi bizonytalansag szennyetol
megtisztitva lakoznak a matematikai elmeletek. A formalistak azert
rendszerint a bukott angyalok szamara is nyitvahagynak egy kis hatso ajtot:
ha kiderul, hogy a "matematika es valami egyeb dolog keverekere"olyan
formlis rendszert tudunk talalni, amely "bizonyos ertelemben magaban
foglalja e kevereket", akkor ez a rendszer is bejuthat a mennybe. igy
Newtonnak negy evszazadon at kellett varakoznia, mignem Peano, Russel es
Quine vegul besegitette a mennyorszagba, miutan sikerult formalizalniuk az
analizist. <<

A konyv valamikor korabban is mar emlitve volt itt a listan, es en is
ajanlom mindenki figyelmebe. A mar elhunyt szerzo egy uj informalis
matamatikai iranyzat vezeto egyenesige, es alapos ismeretei voltak a
matematikarol, es annak torteneterol. Amit en szeretnek hangsulyozni, az
az, hogy a formalizmus egy zart vilag, amely belurol talan mennyorszagnak
tunhet, de korlatos, es nem lehetseges belole kitekinteni a multra, vagy a
valosagra. Az allitasaim kivul esnek ezen a vilagon, es nem sok eselye van
barkinek is megertenie engem, aki nem hajlando kitekinteni ebbol az
euforikus vilagbol. Ha en, vagy mas formalizalja az elmeletemet, akkor a
formalizmus kepviseloi csak annyit fognak eszrevenni, hogy egy megujitott
mennyorszagba kerultek, es fogalmuk se lesz arrol, hogy ennek
letrehozasahoz is matematikara volt szukseg, mert ez a matematika szamukra
nem letezik. A formalistak azok, akik kereken megtagadjak a matematika
fejlodesenek elmeletet mind az emberiseg, mind a sajat tanulmanyaik
tekinteteben, szamukra csak a vegeredmeny letezik, a fejlodesi folyamat
nem. Igy a folyamatba csuszo tevedesek irant teljesen erzeketlenek. Olyan
szakbarbarok, akik alkalmazni tudjak a matematikat, de megalkotni
keptelenek. A matematika alkalmazoi szamara az axiomak jelentik a
kiindulasi alapot, az alkotok szamara pedig csupan egy pillanatnyi allapot
vegeredmenyet. Nagy kulonbseg!

math irja:
>Legujabb ismereteink szerint a nyelv es a gondolat azonos is lehet akar.
>Valoszinuleg lehetetlen nyelv nelkul gondolkodni, ...

Ez eleg durva mellefogas lenne. Elni sem lehet sziv nelkul, megsem azonos a
sziv az emberrel. A nyelvi kozpont az agynak csak egy kis reszet foglalja
el.

>Amennyiben a gondolatot es a nyelvet nem tekinted azonosnak, a
>racionalis es egzakt gondolkodasnak mindenkeppen szukseges feltetele
>a gondolat nyelvi kifejtese es megvitatasa.

Nagyon sok dolog van amit konnyebb megmutatni, mint elmagyarazni, vagy
konnyebb szemleltetni, mint formalizalni, sot amit egyaltalaban nem lehet
formalizalni. Hogyan magyarazod el a vak embernek a latast, es a szineket,
a suketnek a hangokat, vagy a zenet? Es ha el is magyarazod, mire mennek
vele? Latni, vagy hallani biztos nem fognak tole. Talan megtanuljak
annyira, hogy akar vitatkozni is tudnak majd rola, de soha nem tudnak olyan
ervet felhozni, hogy nezd meg, vagy hallgasd meg. Pedig a latok, vagy
hallok szamara ezek eleg eros ervek, erosebbek, mint az eszervek, vagy
magyarazgatas.

>a magasszintu intuicios kepessge nem korrekt matematikai targyalasi
>modszer. az en magasszintu intuiciom ellenkezik a te magaszintu
>intuicioddal. mi ilyenkor a teendo, ha elveted a formalizmust? hitterites?

Nem a formalizmust vetem el, hanem annak elsodlegesseget. Tehat bizonyos
esetekben hasznalhato, es celszeru hasznalni, de van amikor nem lehet
hasznalni, vagy mas modszer hasznalata celszerubb.

>Lassan kovethetetlen a koncepciod,...
En nem emlekszem, hogy barmikor is kovetni tudtad volna az elmeletem, igy
nem az a problema, hogy kezded elveszteni a fonalat, hanem hogy eddig meg
nem is sikerult felvenned. Persze nem csak Te vagy igy.

De talan most rajohetsz, a sajat gondolatod alapjan!
>Ha a sugar tavolsaga 0, akkor henger, ha nagyobb 0-nal, akkor
>(veges) kup. Nincs infinitezimalis.

Tehat az osszes veges magassagu kupnal nem nulla a tavolsag. A kup
magassagat vehetjuk egy veges halmazbol, vagy vehetjuk a veges termeszetes
szamok sorozatat. Tehat nem arrol van szo, hogy a sorozat barmely tagja
vegtelen, hanem csak arrol, hogy a sorozat az. Ezzel szemben, ha a
hatarerteket vesszuk, akkor a tavolsag nulla lesz, es hengerrel (vagy akar
vegtelen magas kuppal) van dolgunk. A hatarerteknel a termeszetes szamokbol
allo ixdexhalmaz vegtelen ertekeket vesz fel, hiszen a veges indexeknel nem
nulla a tavolsag. De ezekkel a vegtelen szamokkal az indexhalmaz
befejezett, zart halmaz lett, hiszen csak a sorozat osszes tagjan
vegighaladva juthattunk el a hatarertekig, es ezt a vegtelent nevezzuk
megszamlalhatatlannak. Ezzel szemben a veges eseteket magabafoglalo sorozat
vegtelenseget megszamlalhatonak nevezzuk, de nem volt a peldaban olyan
halmaz, amelynek ez lett volna a szamossaga. A veges esetek szama
megszamlalhatoan vegtelen, de nincs olyan halmaz, amely kizarolag csak
ezeket, de ebbol mindet tartalmazhatna.

Udv: Takacs Feri

Ui: Ne vegyetek nagyon a szivetekre, de sajnos mas iranyu elfoglaltsagaim
miatt nem igazan tudom folytatni a vitat ilyen intenzitassal, amely mar jo
ideje amugy sem tul hatekony. Igy varhatoan csak egeszen kulonleges, vagy
meglepo fejlemenyek eseten szolok hozza, vagy reagalok roviden ebben a
temaban. Ugy erzem, hogy en is mar szinte mindent elmondtam, ami eszembe
jutott, igy a regebbi szamokban minden elolvashato.

Kedves z2!

{ 1/n } es { 1/n + (-1)^n/n^2 } kozott nincs <, vagy >, vagy = relacio.
Ugyanis a paros indexu sorozattagokra, es a paratlan szamu sorozattagokra
ellentetes relaciok teljesulnek, igy mindket relacio indexhalmaza vegtelen.
Tehat ezek az indexhalmazok nem lehetnek elemei az ultrafilternek, mivel ha
az egyik eleme lenne, akkor ugyanolyan joggal a masiknak is annak kellene
lennie. Nincs ok, amely miatt ket ekvivalens indexhalmaz kozul az egyik
kituntetheto lenne. Termeszetesen az egyenloseg relacio sem teljesul soha,
igy egyik relacio sem teljesul. Sajnos emiatt az ultrafilter definicoja
hibas. Nem igaz tetszoleges T indexhalmazra, hogy ha T nem eleme U-nak,
akkor N-T eleme. Csak az igaz, hogy ha T eleme, akkor N-T nem eleme.
Maskeppen, T, es N-T kozul legfeljebb az egyik eleme U-nak, de lehet, hogy
egyik sem. Szerintem bizonyosan nem jon elo ez a hiba, ha megmaradtal volna
a relaciok eredeti ertelmezese mellett, tehat "veges sok elem kivetelevel"
koveteled meg a relaciok teljesuleset.

>latom kozben elfogadtad, hogy "nem veges"-bol tobb is kell hogy legyen,
>azonban akkor az is fel kellet volna hogy tunjon, hogy a nem-sztenderd
>szamokbol kepzett konvergens sorozatok vegtelen indexu elemei nem "egy
>es ugyanazok", hanem csak egymashoz vegtelen kozeliek.

Nem elfogadtam, hanem mindig is allitottam. Tovabba a nemsztenderd szamok
definiciojaban nincs hatarertekkepzes, igy vegtelen indexek sem lepnek fel.
A nemsztenderd szamok Cauchy-sorozatok, es ennek megfeleloen csak a veges
indexu tagok infinitezimalis kulonbsegeivel szamolunk. A
hatarertekkepzesnek nem lenne ertelme, mivel a nullsorozatok hatarerteke
nulla, amelyel nem lehet peldaul osztani, mig az {1/n) sorozat tagjaival
igen. Ha megis hatarerteket kepeznenk, akkor az osszes vegtelen indexu tag
is nulla lenne, mint a hatarertek, mivel 1/inf = 0.

Kedves Matyas!

>>Azonban, ha a ket kulonbozo dolog definialasa ugyanazon a metaszinten
>>valik szuksegesse, akkor maris nagyon nagy bajban vagyunk. Ugyanis, ha
>>az { n } sorozatot nevezzuk vegtelen nagy szamnak, akkor hogyan nevezzuk
>>a csupa vegtelen nagy szamokbol alkotott { inf } sorozatot?
>Nem nevezzuk. Nincs.

Bar meg nem kerult szoba, de termeszetesen az infinitezimalis szamitasok
elmeleteben is definialjak a hatarertekkepzes muveletet. Bevezetes, es
bizonyitas nelkul kozlok nehany hatarerteket.
lim { 1/n } = 0, az infinitezimalis szamot sorozatkent felirva {0,0,0,...}
lim { 1 - 1/n } = 0, az infinitezimalis szamot sorozatkent felirva
{1,1,1,...}
lim { n } = inf, az infinitezimalis szamot sorozatkent felirva
{inf,inf,inf,...}
Vagyis bizonyos definiciokat nem lehet kikerulni csupan azert, mert nem
tetszik. Megjegyzem, mas baja is van a vegtelen nagy szamnak nevezett {n}
sorozatnak. Ugyanis ez nem a legnagyobb szam, hiszen a {2n},{n^2},{n!}, stb
sorozatok mind nagyobbak nala, es nem is lehet felso korlatot adni ezekre
az ugymond vegtelen nagy szamokra, a most definialt {inf} sorozat az
egyetlen kivetelevel, amelynel valoban nem lehet nagyobbat mondani.

Udv: Takacs Feri

Kedves z2!

>Nem vagyok tul igenyes, boven eleg egy igen-nem teszt, ami alapjan
>tetszoleges valos szamrol eldontheto, hogy eleme-e "lim Qn"-nek vagy
>sem. Ilyen teszt hianyaban "lim Qn"-nek nincsenek elemei, vagyis az
>ures halmazzal ekvivalens.

lim Qn = R[0,1], vagyis az R[0,1] intervallumbeli barmely r valos szamra
kijelolheto a {Qn} halmazsorozatbol egy {qn} racionalis szamsorozat (qn
eleme Qn, barmely n-re), amelyre lim qn = r. QED
Megjegyzem, ez analog Weierstrass intervallum skatulyazasaval. A kulonbseg
csak az, hogy ott egymasba agyazott intervallumok sorozatarol van szo, itt
pedig az osztaspontokat alkoto racionalis szamok sorozatarol, de az
intervalumok szelessegenek hatarerteke nulla, igy ez a kulonbseg nem szamit
a hataretrtekkepzes, vagy a konvergencia szempontjabol. Mivel a
halmazsorozat mertekeul az adott Qn felbontas szomszedos racionalis
szamainak maximalis tavolsaga szerepel, es az 1/n, ezert az egesz
intervallumra teljesul a fenti allitas, a {Qn} sorozat halmazainak elemei
az intervallum minden pontjaban pontonkent is konvergensek, es a
halmazsorozat is a valos intervallumhoz konvergal. Ebbol az is kovetkezik,
hogy a veges termeszetes szamokbol alkotott megszamlalhato N sorozat
hatarerteke egy megszamlalhatatlan XN halmaz, hiszen a megszamlalhato {n}
indexsorozat hatarertekben a megszamlalhatatlan R[0,1] halmazzal lesz
ekvivalens.

>Sajnos az egy teny, hogy nincs a {Qn} sorozat definiciojaban "ugras".
En a {Qn} sorozat, es "lim Qn" kozotti ugrasrol beszeltem. A hatarertekben
megjeleno ugrasokra szamos pelda van. Nemelyikrol mar volt szo, de peldaul
a Fourier-soroknal is folytonos harmonikus fuggvenyekkel kozelithetunk
szakadasos fuggvenyeket (negyszog jelet, fureszjelet, stb).

>>eljarasok, vagyis mindig absztrakciok, nem pedig tenyleges, megfoghato
>>objektumok.
>Erdekes, eddig ugy tudtam, hogy a matematikaban azok az objektumok a
>"tenyleges, megfoghato objektumok", vagy mas szoval letezo objektumok,
>amiknek a tulajdonsagaibol nem vezetheto le ellentmondas.

En valami olyasmit ertettem alatta, hogy olyan objektumok, amelyeket valos
targyakhoz lehet rendelni. A kulonfele muveleteket, mint peldaul a
szamlalas ez nem teheto meg.

Udv: Takacs Feri